Question

如圖，，是拋物線(為正常數(shù))上的兩個動點，直線AB與x軸交于點P，與y軸交于點Q，且

(Ⅰ)求證：直線AB過拋物線C的焦點；

(Ⅱ)是否存在直線AB，使得若存在，求出直線AB的方程；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）先求解直線AB的方程，來分析過定點。（2）直線方程為

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意知，直線的斜率存在，且不為零．

設(shè)直線的方程為： （，）

由，得．∴，  

∴． 

∵，∴，∵，∴．

∴直線的方程為：．

拋物線的焦點坐標為，∴直線過拋物線C的焦點．    

（Ⅱ）假設(shè)存在直線，使得, 即．

作軸，軸,垂足為、，

∴       

∵，        

∴==．

由，得．

故存在直線，使得．直線方程為．

考點：本試題考查了直線與拋物線的關(guān)系運用。

點評：解決直線與拋物線的位置關(guān)系的運用問題，一般都要考查了拋物線的定義的運用，即拋物線上點到焦點的距離等于對其到準線的距離來解答，同時直線與拋物線的位置關(guān)系，也要結(jié)合設(shè)而不求的聯(lián)立方程組的思想，結(jié)合韋達定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，進而得到證明的結(jié)論，屬于難度試題。