Question

1．若函數(shù)e^xf（x）（e≈2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在f（x）的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f（x）具有M性質(zhì)．下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為①④．
①f（x）=2^-x   ②f（x）=3^-x       ③f（x）=x³  ④f（x）=x²+2．

Answer 1

分析 把①②代入e^xf（x），變形為指數(shù)函數(shù)判斷；把③④代入e^xf（x），求導(dǎo)數(shù)判斷．

解答 解：對(duì)于①，f（x）=2^-x，則g（x）=e^xf（x）=${e}^{x}•{2}^{-x}=（\frac{e}{2}）^{x}$為實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)；
對(duì)于②，f（x）=3^-x，則g（x）=e^xf（x）=${e}^{x}•{3}^{-x}=（\frac{e}{3}）^{x}$為實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)；
對(duì)于③，f（x）=x³，則g（x）=e^xf（x）=e^x•x³，
g′（x）=e^x•x³+3e^x•x²=e^x（x³+3x²）=e^x•x²（x+3），當(dāng)x＜-3時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）=e^xf（x）在定義域R上先減后增；
對(duì)于④，f（x）=x²+2，則g（x）=e^xf（x）=e^x（x²+2），
g′（x）=e^x（x²+2）+2xe^x=e^x（x²+2x+2）＞0在實(shí)數(shù)集R上恒成立，
∴g（x）=e^xf（x）在定義域R上是增函數(shù)．
∴具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為①④．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．