Question

已知橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點與拋物x²=4y的焦點F重合，且橢圓的離心率為

2

2

．
（1）求橢圓的方程．
（2）過點P（t，-1）作拋物線的兩條切線，切點分別為M，N，直線MN與橢圓交于A，B兩點，直線PF與橢圓交于C，D兩點，如圖所示．
①求直線MN的方程．
②求四邊形ABCD的面積的最大值和最小值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出拋物線x²=4y的焦點F（0，1），則c=1，再由橢圓的離心率公式，即可得到a，再由a，b，c的關系，求出b，即可得到橢圓方程；
（2））①設出切點，求出函數y=

1

4

x²的導數，求得切線的斜率，求出切線方程，得到交點P，即可得到MN的方程；
②求出直線PF的方程，得到MN⊥PF，聯立直線方程和橢圓方程，消去y，運用韋達定理和弦長公式，得到AB，CD的長，再由面積公式S=

1

2

|AB|•|CD|，化簡整理，討論t=0，t≠0，分別求出最值即可，注意運用基本不等式．

解答： 解：（1）拋物線x²=4y的焦點F（0，1），則c=1，
∵橢圓的離心率為

2

2

，∴

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，∴b=1，
∴橢圓的方程為

y2

2

+x2=1；
（2）①設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），y=

1

4

x²的導數y′=

1

2

x，
y₁=

1

4

x₁²，y₂=

1

4

x₂²，
則切線PM：y-

x12

4

=

1

2

x₁（x-x₁），即y=

1

2

x₁x-

x12

4

，
同理切線PN：y=

1

2

x₂x-

x22

4

，
聯立求得P（

x1+x2

2

，

x1x2

4

），則x₁+x₂=2t，x₁x₂=-4，
∴直線MN的方程為y=

x1+x2

4

x-

x1x2

4

，即y=

1

2

tx+1，
②直線PF：y-1=-

2

t

（x-6），即y=-

2

t

x+1，
∵

1

2

t•（-

2

t

）=-1，∴MN⊥PF，
由

2x2+y2=2 y= 1 2 tx+1

消去y，得，（8+t²）x²+4tx-4=0，顯然△＞0，
x₁+x₂=-

4t

8+t2

，x₁x₂=

-4

8+t2

，2
則弦長AB=

1+ t2 4

•

16t2 (8+t2)2 + 16 8+t2

，
同理由

2x2+y2=2 y=- 2 t x+1

消去y，可得弦長CD=

1+ 4 t2

•

256t2 (8t2+16)2 + 2t2 t2+2

，
則有四邊形ABCD的面積S=

1

2

|AB|•|CD|=

2(4+t2)2

(2+t2)(8+t2)

=2•

t4+8t2+16

t4+10t2+16

=2•

1

1+ 2t2 t4+8t2+16

，
故當t=0時，面積S有最大值2，
當t≠0時，S=2•

1

1+ 2 t2+ 16 t2 +8

，當且僅當t²=

16

t2

，即t=±2時，S最小，且為

16

9

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查聯立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理，以及弦長公式的運用，同時考查運用導數求切線的方程，考查運算能力，屬于中檔題．