Question

已知拋物線(xiàn)C的方程為y²=4x．
（Ⅰ）寫(xiě)出焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)l的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)．問(wèn)是否存在直線(xiàn)l，使得弦AB的中點(diǎn)為（1，1），若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線(xiàn)方程求得p，則根據(jù)拋物線(xiàn)性質(zhì)可求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)l的方程；
（Ⅱ）利用點(diǎn)差法，結(jié)合弦中點(diǎn)的坐標(biāo)求出斜率，利用點(diǎn)斜式，可得直線(xiàn)l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）拋物線(xiàn)y²=4x的焦點(diǎn)在x軸上，且p=2
∴拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=-1．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
兩式相減可得y₁²-y₂²=4x₁-4x₂，
∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂）
∵弦AB的中點(diǎn)為（1，1），
∴y₁+y₂=2，
∴直線(xiàn)l的斜率為

y1-y2

x1-x2

=2，
∴直線(xiàn)l的方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于中檔題