Question

5．若R上的奇函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且當(dāng)0＜x≤1時(shí)，f（x）=log₂x，則方程f（x）=f（0）+$\frac{1}{4}$在區(qū)間（2014，2016）內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和為（　�。�

• A． 4028
• B． 4030
• C． 4032
• D． 4034

Answer 1

分析 由奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱可得f（x+4）=f（x），再利用f（0）=0，及0＜x≤1時(shí)，f（x）=log₂x，數(shù)形結(jié)合，可求得方程f（x）=$\frac{1}{4}$+f（0）=$\frac{1}{4}$在區(qū)間（2014，2016）內(nèi)的所有實(shí)根之和．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴f（2-x）=f（x），又y=f（x）為奇函數(shù)，
∴f（x+2）=f（-x）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）的周期為4，
又定義在R上的奇函數(shù)，故f（0）=0，
∵f（x）=f（0）+$\frac{1}{4}$，∴f（x）=$\frac{1}{4}$，
∵0＜x≤1時(shí)，f（x）=log₂x≤0，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$在（0，1）內(nèi)沒(méi)有一實(shí)根，在（-1，0）內(nèi)有一實(shí)數(shù)根x₁，
又函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，
∴f（x）=$\frac{1}{4}$在（2，3）有一個(gè)實(shí)根x₂，且x₁+x₂=2；
∵f（x）的周期為4，
當(dāng)2014＜x＜2016時(shí)，函數(shù)的圖象與2＜x＜4的圖象一樣．
∴原方程在區(qū)間（2014，2016）內(nèi)的實(shí)根有2個(gè)，設(shè)為a，b，則$\frac{a+b}{2}$=2015
∴a+b=4030．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷及奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，關(guān)鍵在于判斷f（x）的周期為4，再結(jié)合0＜x≤1時(shí)，f（x）=log₂x與奇函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，數(shù)形結(jié)合予以解決，屬于中檔題．