Question

4．已知函數(shù)f（x）=log₂$\frac{2+x}{2-x}$．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）為定義域上的單調(diào)增函數(shù)；
（2）解關(guān)于x的不等式f（x²-2）+f（-x）＜0．

Answer 1

分析 （1）先利用對數(shù)的真數(shù)大于零，求得函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，再根據(jù)f（-x）+f（x）=0，可得函數(shù)為奇函數(shù)．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證得函數(shù)f（x）=log₂$\frac{2+x}{2-x}$為定義域上的單調(diào)增函數(shù)．
（3）由題意可得原不等式等價于 $\left\{\begin{array}{l}{-2{＜x}^{2}-2＜2}\\{-2＜-x＜2}\\{{x}^{2}-2＜x}\end{array}\right.$，由此求得x的范圍．

解答 解：（1）要使函數(shù)f（x）=log₂$\frac{2+x}{2-x}$有意義，$\frac{2+x}{2-x}$＞0，得-2＜x＜2，故函數(shù)的定義域為（-2，2），關(guān)于原點對稱．
又f（-x）+f（x）=log₂$\frac{2-x}{2+x}$+log₂$\frac{2+x}{2-x}$=log₂ （$\frac{2-x}{2+x}$．$\frac{2+x}{2-x}$）=log₂1=0，
故f（x）為奇函數(shù)．
（2）設(shè)-2＜x₁＜x₂＜2，
∵f（x₂）-f（x₁）=log₂ $\frac{2{+x}_{2}}{2{-x}_{2}}$-log₂$\frac{2{+x}_{1}}{2{-x}_{1}}$=log₂ $\frac{（2{+x}_{2}）（2{-x}_{1}）}{（2{+x}_{1}）（2{-x}_{2}）}$=log₂ $\frac{4{-x}_{1}{•x}_{2}+2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{4{-x}_{1}{•x}_{2}-2{（x}_{2}{-x}_{1}）}$，
由題設(shè)可得x₂-x₁＞0，
∴$\frac{4{-x}_{1}{•x}_{2}+2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{4{-x}_{1}{•x}_{2}-2{（x}_{2}{-x}_{1}）}$＞1，∴l(xiāng)og₂ $\frac{4{-x}_{1}{•x}_{2}+2{（x}_{2}{-x}_{1}）}{4{-x}_{1}{•x}_{2}-2{（x}_{2}{-x}_{1}）}$＞0，

∴函數(shù)f（x）=log₂$\frac{2+x}{2-x}$為定義域上的單調(diào)增函數(shù)．
（3）因為函數(shù)f（x）的定義域（-2，2），
所以 $\left\{\begin{array}{l}{-2{＜x}^{2}-2＜2}\\{-2＜-x＜2}\end{array}\right.$，
又根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，所以不等式f（x²-2）+f（-x）＜0，即f（x²-2）＜-f（-x）=f（x）．
再根據(jù)f（x）時定義域內(nèi)的增函數(shù)，可得x²-2＜x，
所以原不等式等價于 $\left\{\begin{array}{l}{-2{＜x}^{2}-2＜2}\\{-2＜-x＜2}\\{{x}^{2}-2＜x}\end{array}\right.$，求得-1＜x＜0，或 0＜x＜2，
即原不等式的解集為{x|-1＜x＜0，或 0＜x＜2}．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，解一元二次不等式，屬于中檔題．