Question

（2010•浙江模擬）設函數f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+m(x∈R)
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，是否存在實數m，使函數f（x）的值域恰為[

1

2

，

7

2

]？若存在，請求出m的取值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題意可得：f（x）=2sin（2x+

π

6

）+m+1，再結合周期的計算公式可得答案．
（Ⅱ）假設存在實數m符合題意，由x的范圍得：

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，進而求出函數f（x）的范圍，再結合題意可得答案．

解答：解：（I）由題意可得：
f（x）=2cos²x+2

3

sinxcosx+m
=1+cos2x+

3

sin2x+m
=2sin（2x+

π

6

）+m+1，
所以函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）假設存在實數m符合題意，∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，則sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]…（9分）
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)+m+1∈[m，3+m]…（10分）
又∵f(x)∈[

1

2

，

7

2

]，解得  m=

1

2

…（13分）
∴存在實數m=

1

2

，使函數f（x）的值域恰為[

1

2

，

7

2

]…（14分）

點評：本題題考查三角函數的周期性及其求法，以及三角函數的有關性質，兩角和與差的正弦函數，二倍角公式，并且考查計算能力，是中檔題型．