Question

如圖，已知?jiǎng)又本�l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4，0），交拋物線y²=2ax（a＞0）于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O是PQ的中點(diǎn)，設(shè)直線AQ，BQ的斜率分別為k₁，k₂．
（1）證明：k₁+k₂=0；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，是否存在垂直于x軸的直線l′，被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，請(qǐng)求出直線l′的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線l方程與拋物線方程聯(lián)立可得：y²-2amy-8a=0，表示出直線AQ，BQ的斜率，利用韋達(dá)定理可證；
（2）假設(shè)存在這樣的直線，記作l'：x=t．若要滿足題意，只需r²-d²為常數(shù)即可．

解答：（1）證明：設(shè)直線l方程為x=my+4（m∈R），與拋物線方程聯(lián)立可得：y²-2amy-8a=0，
再設(shè)點(diǎn)A(

y12

2a

，y1)，B(

y22

2a

，y2)，則y₁•y₂=-8a
所以k1=

y1

y12 2a +4

=

2ay1

y12+8a

=

2a• -8a y2

64a2 y22 +8a

=-

2ay2

y22+8a

=-k2，故k₁+k₂=0-----（7分）
（2）解：因?yàn)閍=2，所以拋物線的方程為：y²=4x．
記線段AP中點(diǎn)即圓心為O′(

y12+16

8

，

y1

2

)，則圓的半徑r=|O′P|=

( y12+16 8 -4)2+ y12 4

，
假設(shè)存在這樣的直線，記作l'：x=t．若要滿足題意，只需r²-d²為常數(shù)即可．--------（10分）
故r²-d²=(

y12+16

8

-4)2+

y12

4

-(t-

y12+16

8

)2=(

t

4

-

3

4

)y12-t2+4t
所以

t

4

=

3

4

，即t=3時(shí)，能保證為常數(shù)，故存在這樣的直線l'：x=3滿足題意．-----（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查圓中弦長(zhǎng)的計(jì)算，屬于中檔題．