Question

11．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（cosA-cosC，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinA-sinC），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$
（1）若a²+c²+ac=b²，求A；
（2）若$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=20，且a≠c，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，運(yùn)用兩角差的余弦公式，以及余弦定理，可得B，A的度數(shù)；
（2）運(yùn)用向量數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得A+C=2B，解得B=60°，再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{m}$=（cosA-cosC，sinB），$\overrightarrow{n}$=（cosB，sinA-sinC），
且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，可得cosB（cosA-cosC）+sinB（sinA-sinC）=0，
即為cosAcosB+sinAsinB=cosCcosB+sinCsinB，
即有cos（A-B）=cos（B-C），
在△ABC中，由a²+c²+ac=b²，可得a²+c²-b²=-ac，
由余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=-$\frac{ac}{2ac}$=-$\frac{1}{2}$，
由B為三角形的內(nèi)角，可得B=120°，
A+C=60°，
由cos（B-A）=cos（B-C），可得A=C=30°；
（2）由$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=20，且a≠c，
可得cacosB=20，
由（1）可得cos（A-B）=cos（B-C），
即為A-B=B-C+k•360°，
或A-B=C-B+k•360°，k∈Z，
由A≠C，A，B，C為三角形的內(nèi)角，
可得A+C=2B，又A+C+B=180°，
解得B=60°，
則ac=$\frac{20}{cos60°}$=40，
即有△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，考查三角函數(shù)的恒等變換公式的運(yùn)用，考查余弦定理和面積公式的運(yùn)用，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．