Question

數(shù)列{a_n}中a₁=8，a₄=2，且滿足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*），
（1）求數(shù)列{a_n}通項公式；
（2）設(shè)S₅₀=|a₁|+|a₂|+L+|a₅₀|，求S₅₀．

Answer 1

分析：（1）首先判斷數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，由a₁=8，a₄=2求出公差，代入通項公式即得．
（2）判斷哪幾項為非負(fù)數(shù)，前五項加絕對值不變，用等差數(shù)列前n項和算出，后45項加絕對值變?yōu)橄喾磾?shù)，可把a₆看作首項，公差不變，求出后45項的和，用前5項的和減去后45項的和即得所求．

解答：解：（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0，∴2a_n+1=a_n+a_n+2
∴數(shù)列{a_n}是首項為a₁=8的等差數(shù)列．
∵a₁=8，a₄=2，公差d=

a4-a1

4-1

=-2，a_n=a₁+（n-1）d=10-2n．
（2）∵a_n=10-2n≥0，∴n≤5
∴數(shù)列{a_n}的前5項為非負(fù)數(shù)，后面的45項為負(fù)數(shù)．
a₆=10-2×6=-2，a₅₀=10-2×50=-90
S₅₀=a₁+a₂+…+a₅+（-a₆）+（-a₇）+…+（-a₅₀）
=

8+0

2

×5+

2+90

2

×45=2090．

點評：考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，求出公差，用代入法直接可求；求S₅₀時，注意后45項與{a_n}中的項是互為相反，可以利用數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列求出后45項的和，取相反數(shù)即可．