Question

(理)設a∈R,函數(shù)f(x)=e^-x(x²+ax+1),其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

(1)討論函數(shù)f(x)在R上的單調性;

(2)當-1＜a＜0時,求f(x)在［-2,1］上的最小值.

(文)已知f(x)=x³+mx²-2m²x-4(m為常數(shù),且m＞0)有極大值.

(1)求m的值;

(2)求曲線y=f(x)的斜率為2的切線方程.

Answer 1

解：(理)f′(x)=-e^-x(x²+ax+1)+e^-x(2x+a)=e^-x(-x²-ax-1+2x+a)=e^-x［-x²-(a-2)x+a-1］.

∵e^-x＞0,

以下討論g(x)=-x²-(a-2)x+a-1=-(x-1)［x+(a-1)］的取值情況:

(1)①當a=0時,g(x)=-(x-1)²≤0,∴f(x)在R上是減函數(shù);

②當a＞0時,g(x)=0有兩個根1和1-a,其中1-a＜1,函數(shù)f(x)在(-∞,1-a)和(1,+∞)上是減函數(shù),在(1-a,1)上是增函數(shù);

③當a＜0時,g(x)=0有兩個根1和1-a,其中1-a＞1,函數(shù)f(x)在(-∞,1)和(1-a,+∞)上是減函數(shù),在(1,1-a)上是增函數(shù).

(2)當-1＜a＜0時,f(x)在［-2,1］上是減函數(shù),

故f(x)_min=f(1)=.

(文)(1)f′(x)=3x²+mx-2m²=(x+m)(3x-2m)=0,

則x=-m,x=m.

由列表得

x	(-∞,-m)	-m	(-m,m)	m	(m,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	?	極大	?	極小	?

f(-m)=-m³+m³+2m³-4=-,∴m=1.

(2)由(1)知f(x)=x³+x²-2x-4,則f′(x)=3x²+x-2=2,∴x=1或x=-.

由f(1)=,f(-)=.∴切線方程為y+=2(x-1),即4x-2y-13=0;

y+=2(x+),即54x-27y-4=0.