Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|-

4

x

+a，a∈R．
（1）若a=1，試判斷并用定義證明函數(shù)f（x）在[1，4]上的單調(diào)性；
（2）當x∈[1，4]時，求函數(shù)f（x）的最大值的表達式M（a）；
（3）是否存在實數(shù)a，使得f（x）=3有3個不等實根x₁＜x₂＜x₃，且它們依次成等差數(shù)列，若存在，求出所有a的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由a=1，x∈[1，4]，可得函數(shù)f（x）=x-

4

x

，再用定義證明函數(shù)f（x）在[1，4]上的單調(diào)性．
（2）當x∈[1，4]時，分當①a≤1、a∈（1，2）、a∈[2，4）、a≥4這4種情況，分別利用單調(diào)性求得f（x）的最大值M（a），綜合可得結(jié)論．
（3）由于f（x）=

2a-x- 4 x ，x≤a x- 4 x ，x＞a

，故由f（x）=3，求得x=-1，或 x=4，根據(jù)x₁＜x₂＜x₃，且它們依次成等差數(shù)列，可得a≤-1，f（-6）=3，由此求得a的值．

解答： 解：（1）若a=1，x∈[1，4]，則函數(shù)f（x）=|x-1|-

4

x

+1=x-

4

x

，
設1≤x₁＜x₂≤4，則f（x₁）-f（x₂）=[（x₁-1）-

4

x1

+1]-[（x₂-1）-

4

x2

+1]
=（x₁-x₂）+

4

x2

-

4

x1

=（x₁-x₂）+

4(x1-x2)

x1•x2

=（x₁-x₂）（1+

4

x1•x2

 ）．
由1≤x₁＜x₂≤4可得x₁-x₂＜0，1+

4

x1•x2

＞0，∴（x₁-x₂）（1+

4

x1•x2

 ）＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，故函數(shù)f（x）在[1，4]上是增函數(shù)．
（2）對于函數(shù)f（x）=

2a-x- 4 x ，x∈(1，a) x- 4 x ，x∈[a，4)

，當x∈[1，4]時，
①若a＜1，則函數(shù)f（x）=x-

4

x

，顯然f（x）在[1，4]上是增函數(shù)，
故f（x）的最大值的表達式M（a）=f（4）=4-1=3．
②若a∈[1，2），f（x）=

2a-x- 4 x ，x∈(1，a) x- 4 x ，x∈[a，4)

，顯然f（x）在[1，a）上是增函數(shù)，
f（x）在[a，4]上是增函數(shù)，故f（x）的最大值為f（4）=3．
③若a∈[2，4），f（x）=

2a-x- 4 x ，x∈(1，a) x- 4 x ，x∈[a，4)

，f（x）在[1，2]上是增函數(shù)，
在[2，a）上是減函數(shù)，在[a，4]上是增函數(shù)，
故f（x）的最大值為max{ f（2），f（4）}=max{ 2a-4，3}．
由2a-4=3，求得a=

7

2

，
故f（x）的最大值為max{ f（2），f（4）}=

3，2≤a＜ 7 2 2a-4， 7 2 ≤a＜4

．
 ④當a≥4時，f（x）=a-x-

4

x

+a=2a-（x+

4

x

）≤2a-2

x• 4 x

=2a-4．
綜上可得M（a）=

3，a＜ 7 2 2a-4，a≥ 7 2

．
（3）對于函數(shù)f（x）=

2a-x- 4 x ，x≤a x- 4 x ，x＞a

，
由于當x＞a時，解方程f（x）=3，可得x-

4

x

=3，求得x=-1，或 x=4．
∵x₁＜x₂＜x₃，且它們依次成等差數(shù)列，∴x₂=-1，x₃=4，x₁ =-6，∴a≤-1．
∴x＜a時，方程f（x）=3只能有一個實數(shù)根為-6，
再根據(jù)f（-6）=2a+6+

2

3

=3，求得a=-

11

6

，滿足a≤-1，
故存在實數(shù)a=-

11

6

，使得f（x）=3有3個不等實根x₁＜x₂＜x₃，且它們依次成等差數(shù)列．

點評：本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，等差數(shù)列的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．