Question

已知函數(shù)f（x）=sin

x

3

cos

x

3

+

3

cos²

x

3

．
（Ⅰ）求該函數(shù)圖象的對稱軸；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足b²=ac，求f（B）的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的對稱性,余弦定理

專題：高考數(shù)學(xué)專題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用兩角和與差的三角函數(shù)，化簡函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求該函數(shù)圖象的對稱軸；
（Ⅱ）通過在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足b²=ac，利用余弦定理求出B 地方我，得到相位的范圍，即可求解f（B）的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

(1+cos

2x

3

)=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

=sin(

2x

3

+

π

3

)+

3

2

由sin(

2x

3

+

π

3

)=±1即

2x

3

+

π

3

=kπ+

π

2

(k∈z)得x=(

3k

2

+

1

4

)π

，k∈z

即對稱軸為x=(

3k

2

+

1

4

)π

，k∈z

…（6分）
（Ⅱ）由已知b²=ac，∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∴

1

2

≤cosB＜1，
∴0＜B≤

π

3

，
∴

π

3

＜

2B

3

+

π

3

≤

5π

9

，
∴

3

2

＜sin(

2B

3

+

π

3

)≤1
∴

3

＜sin(

2B

3

+

π

3

)+

3

2

≤1+

3

2

，
即f（B）的值域為(

3

，1+

3

2

]．…（14分）

點評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．