Question

16．已知|${\overrightarrow a}$|=2，|${\overrightarrow b}$|=1，（2$\overrightarrow a$-3$\overrightarrow b$）•（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$）=17．
（Ⅰ）求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角和|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|的值；
（Ⅱ）設$\overrightarrow c$=m$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$，$\overrightarrow d$=2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$，若$\overrightarrow c$與$\overrightarrow d$共線，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)向量數(shù)量積的定義和應用即可求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角和|${\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$|的值；
（Ⅱ）根據(jù)向量共線的等價條件建立方程關系進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）設$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，
∵$（2\overrightarrow a-3\overrightarrow b）•（2\overrightarrow a+\overrightarrow b）=17$∴$4{\overrightarrow a^2}-4\overrightarrow a\overrightarrow{•b}-3{\overrightarrow b^2}=17$，
即4×2²-4×2×1×cosθ-3×1²=17--------------------------（3分）
∴$cosθ=-\frac{1}{2}$，又∵0≤θ＜π，∴$θ=\frac{2π}{3}$．
所以$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角$\frac{2π}{3}$．--------------------------------------------------（5分）
∵$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{{{（\overrightarrow a+\overrightarrow b）}^2}}=\sqrt{{{\overrightarrow a}^2}+2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{{\overrightarrow b}^2}}=\sqrt{{2^2}+2×2×1×cos\frac{2π}{3}+{1^2}}=\sqrt{3}$．
∴$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|=\sqrt{3}$．--------------------------------------------------（8分）
（Ⅱ）解：因為$\overrightarrow c$與$\overrightarrow d$共線，所以存在λ，
使$λ\overrightarrow d=\overrightarrow c$$λ（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）=m\overrightarrow a+2\overrightarrow b$$（m-2λ）\overrightarrow a+（λ+2）\overrightarrow b=0$
因為$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$不共線，所以 $\left\{\begin{array}{l}m=2λ\\ λ=-2\end{array}\right.$所以，m=-4--------------------------------（12分）

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應用以及向量共線的應用，考查學生的運算和轉化能力．