Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$．
（1）求f[f（0）+4]的值；
（2）求證：f（x）在R上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得f（0）的值，即可得f（0）+4的值，進(jìn)而代入函數(shù)解析式計(jì)算可得f[f（0）+4]的值；
（2）由作差法證明：設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，化簡并分析f（x₁）-f（x₂）的符號，即可得證明．

解答 解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
則f（0）=$\frac{{2}^{0}-1}{{2}^{0}+1}$=0，∴f[f（0）+4]=f（4）=$\frac{{2}^{4}-1}{{2}^{4}+1}$=$\frac{15}{17}$．
（2）證明　設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則${2^{x_2}}$＞${2^{x_1}}$＞0，${2^{x_2}}$-${2^{x_1}}$＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（$\frac{{2}^{{x}_{1}}-1}{{2}^{{x}_{1}}+1}$）-（$\frac{{2}^{{x}_{2}}-1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）=-$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以f（x）在R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判定、證明，關(guān)鍵是掌握定義法證明函數(shù)單調(diào)性的方法．