Question

已知f（x）=（x³+bx²+cx+d）•e^x，且f（0）=4-5b，x=1為f（x）的極值點，g（x）=（2x+2）•e^-2x．
（I）若f（x）在（2，+∞）上遞增，求b的取值范圍；
（II）對任意x₁∈[0，1]，存在x₂使得f（x₁）=g（x₂）成立，求b的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由f（0）=4-5b得d=4-5b，
又f′（x）=[x³+（b+3）x²+（c+2b）x+c+d]e^x
∵x=1為f（x）的極值點
∴f′（1）=0
得c=b-4
f（x）=[x³+bx²+（b-4）x+4-5b]•e^x，
f′（x）=（x+b）（x²+3x-4）e^x≥0，?x∈（2，+∞）恒成立，
b≥-2
（II）由g′（x）=e^-2x（-4x-2）得，g（x）在上遞增，在上遞減．
故g（x）的值域為（-∞，e]，
f′（x）=（x+b）（x²+3x-4）e^x=（x+b）（x+4）（x-1）e^x
①當-b≥1即b≤-1時，f（x）在[0，1]上遞增
所以f（x）的值域為[4-5b，1-3b]
∵對任意x₁∈[0，1]，存在x₂使得f（x₁）=g（x₂）成立
∴1-3b≤e
此時無解
②當0≤-b≤1即-1≤b≤0時，f（x）在[0，-b]上遞增，在[-b，1]上遞減
∴當x=-b時，f（x）有最大值為f（-b）=e^-b（-b²-b+4）
∵對任意x₁∈[0，1]，存在x₂使得f（x₁）=g（x₂）成立
∴e^-b（-b²-b+4）≤e
解得不存在b
③當b＞0時
f（x）在[0，1]上遞減
∴f（x）的值域為[1-3b，4-5b]
∵對任意x₁∈[0，1]，存在x₂使得f（x₁）=g（x₂）成立
∴4-5b≤e
解得
分析：（I）將x=0代入已知等式列出方程得到b，c的關(guān)系，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令x=1時導(dǎo)函數(shù)為0，得到b，c 的關(guān)系，代入f（x）的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0在（2，+∞）上恒成立求出b的范圍．
（II）求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，得到g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的值域，通過對b的分類討論求出f（x）的最大值，令f（x）的最大值屬于g（x）的值域，列出不等式求出b的范圍．
點評：解決已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)問題，一般求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于（或小于等于0）恒成立；解決不等式恒成立問題常采用分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．