Question

20．已知過點(diǎn)（0，-2$\sqrt{3}$），斜率為$\sqrt{3}$的直線l過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)，橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在直線x=$\frac{{a}^{2}}{2}$上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點(diǎn)E（-2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，且滿足tan∠MON=$\frac{4\sqrt{6}}{3\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線m的方程．

Answer 1

分析 （1）求出直線l的方程為y=$\sqrt{3}x$-2$\sqrt{3}$，令y=0，得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），由橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在直線x=$\frac{{a}^{2}}{2}$上，求了橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n），從而求出a²=2m=6，由此能求出橢圓C的方程．
（2）直線m的方程需要考慮斜率存在和不存在兩種情況，斜率存在時(shí)可設(shè)為y=k（x+2）代入橢圓方程得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合已知條件能求出l的方程．

解答 解：（1）∵過點(diǎn)（0，-2$\sqrt{3}$），斜率為$\sqrt{3}$的直線l過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)，
∴直線l的方程為y=$\sqrt{3}x$-2$\sqrt{3}$，令y=0，得橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∵橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在直線x=$\frac{{a}^{2}}{2}$上，
設(shè)橢圓C的中心關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}m-2\sqrt{3}}\\{\frac{n}{m}=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{m=\frac{{a}^{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得n=-$\sqrt{3}$，m=3，a²=2m=6，
∴b²=a²-c²=6-4=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）①當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，滿足tan∠MON=$\frac{4\sqrt{6}}{3\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}}$，此時(shí)直線m的方程為x=-2．
②當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，由題設(shè)知直線m的斜率不為零，
∴直線m的方程可設(shè)為y=k（x+2）
代入橢圓方程得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x₁+x₂=-$\frac{12{k}^{2}}{3{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{12{k}^{2}-6}{3{k}^{2}+1}$，
由tan∠MON=$\frac{4\sqrt{6}}{3\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}}$，得：|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|sin∠MON=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴S_△OMN=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
又|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+1}$，原點(diǎn)O到l的距離d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則S_△OMN=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{3{k}^{2}+1}$•$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴l(xiāng)的方程是y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2）或x=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的探究與求法，考查推理誰論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想、化歸思想，是中檔題．