Question

8．已知曲線y=$\frac{1}{3}$x³，
（1）求曲線在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程； 
（2）求曲線過(guò)點(diǎn)P（2，f（x））的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得在x=2處切線的斜率，求出切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，$\frac{1}{3}$x₀³），求得切線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程求得切線方程，代入點(diǎn)P，解方程可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得切線的斜率和切線方程．

解答 解：（1）y=$\frac{1}{3}$x³，導(dǎo)數(shù)y′=x²，
曲線在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線斜率為4，
切點(diǎn)為（2，$\frac{8}{3}$），
可得曲線在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y-$\frac{8}{3}$=4（x-2），
12x-3y-16=0；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（2，$\frac{8}{3}$）的直線與曲線相切，
切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，$\frac{1}{3}$x₀³），
所以切線的斜率為${f^'}（{x_0}）=x_0^2$，
所以切線方程為$y-\frac{1}{3}x_0^3=x_0^2（x-{x_0}）$，
因?yàn)榍芯�過(guò)點(diǎn)P（2，$\frac{8}{3}$），
所以$\frac{8}{3}-\frac{1}{3}x_0^3=x_0^2（2-{x_0}）$，
解得x₀=2或x₀=-1，
當(dāng)x₀=2時(shí)，切線方程為12x-3y-16=0；
當(dāng)x₀=-1時(shí)，切線方程為3y-3x-2=0．
所以所求切線方程為12x-3y-16=0或3x-3y+2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，注意區(qū)分在某點(diǎn)處的切線和過(guò)某點(diǎn)的切線是解題的關(guān)鍵，正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題．