已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(-3,0)和點B(1,0)兩點,且圓心C在直線y=x+1上.
(1)求圓C的標準方程.
(2)已知線段MN的端點M的坐標(3,4),另一端點N在圓C上運動,求線段MN的中點G的軌跡方程;
(3)是否存在斜率為1的直線l,使l被圓C截得的弦PQ,且以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標原點?若存在求出直線l的方程,若不存在說明理由.
分析:(1)設出圓的標準方程,由題意列出三個方程組成方程組,利用消元法求解;
(2)設出點G、N的坐標,再由中點坐標公式用G點的坐標表示N點的坐標,再代入圓的方程,整理后得到點G軌跡方程;
(3)假設存在滿足條件的直線l并設出其方程和點P、Q的坐標,聯(lián)立圓的方程和直線方程消元后得到一元二次方程,再由韋達定理得到兩根的乘積和判別式的符號求出b的范圍,由OP⊥OQ列出關系式,求出b的值注意驗證.
解答:解:(1)設圓C的標準方程為:(x-a)
2+(y-b)
2=r
2,
由題意列方程組,
| (-3-a)2+b2=r2 | (1-a)2+b2=r2 | b=a+1 |
| |
,解得,a=-1,b=0,r=2
∴所求圓的方程為:(x+1)
2+y
2=4
(2)設N(x
1,y
1),G(x,y),
∵線段MN的中點是G,
∴由中點公式得
?∵N在圓C上,∴(2x-2)
2+(2y-4)
2=4,
即(x-1)
2+(y-2)
2=1,
∴點G的軌跡方程是(x-1)
2+(y-2)
2=1.
(3)設存在這樣的直線l,并設直線方程為:y=x+b
由
?2x2+(2b+2)x+b2-3=0?x1x2=①
且
△=4(b+1)2-8(b2-3)>0?1-<b<1+同理可得:
y1y2=②;
∵以PQ為直徑的圓過原點O,
∴OP⊥OQ,即x
1x
2+y
1y
2=0,把①②代入化簡得,b
2-b-3=0
解得,
b=;
∴經(jīng)檢驗存在兩條這樣的直線l:
y=x+ 點評:本題是直線與圓的方程綜合性題,考查了用待定系數(shù)法求圓的方程,用代入法求動點的軌跡方程;對于存在性的處理方法,先假設存在再由題意用設而不求思想和韋達定理列出關系式,注意驗證所求值的范圍.