如圖，M為橢圓
x2
3
+y2=1上任意一點(diǎn)，P為線段OM的中點(diǎn)，求
PF1
•
PF2
的最小值
-
7
4
-
7
4
．
分析：由題意設(shè)出P的坐標(biāo)，求出
PF1
，
PF2
，然后直接計(jì)算
PF1
•
PF2
，即可求出最小值．
解答：解：設(shè)M（
3
cosα ，sinα），所以P（
3
2
cosα ， 
1
2
sinα），F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)；
所以
PF1
=(-
2
-
3
2
cosα ， -
1
2
sinα)；
PF2
=(
2
-
3
2
cosα ， -
1
2
sinα)；
所以
PF1
•
PF2
=(-
2
-
3
2
cosα ， -
1
2
sinα)• (
2
-
3
2
cosα ， -
1
2
sinα)
=-2+
3
4
cos2α+
1
4
sin2α=
1
2
cos2 α-
7
4
≥-
7
4
．
PF1
•
PF2
的最小值-
7
4
．
故答案為：-
7
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，橢圓的參數(shù)方程，向量的數(shù)量積等知識(shí)，考查計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
x23
+y2=1．如圖所示，斜率為k（k＞0）且不過(guò)原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為E，射線OE交橢圓C于點(diǎn)G，交直線x=-3于點(diǎn)D（-3，m）．
（Ⅰ）求m2+k2的最小值；
（Ⅱ）若|OG|2=|OD|?|OE|，
（i）求證：直線l過(guò)定點(diǎn)；
（ii）試問(wèn)點(diǎn)B，G能否關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)？若能，求出此時(shí)△ABG的外接圓方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在矩形ABCD中，|AB|=2
3
，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點(diǎn)，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示）．若R、R′分別在線段0F、CF上，且
|OR|
|OF|
=
|CR′|
|CF|
=
1
n
．
（Ⅰ）求證：直線ER與GR′的交點(diǎn)P在橢圓Ω：
x2
3
+y2=1上；
（Ⅱ）若M、N為橢圓Ω上的兩點(diǎn)，且直線GM與直線GN的斜率之積為
2
3
，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)；并求△GMN面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•黃岡模擬）在矩形ABCD中，|AB|=2
3
，|AD|=2，E、F、G、H分別為矩形四條邊的中點(diǎn)，以HF、GE所在直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示）．若R、R′分別在線段0F、CF上，且
|OR|
|OF|
=
|CR′|
|OF|
=
1
n
．
（Ⅰ）求證：直線ER與GR′的交點(diǎn)P在橢圓Ω：
x2
3
+y2=1上；
（Ⅱ）若M、N為橢圓Ω上的兩點(diǎn)，且直線GM與直線GN的斜率之積為
2
3
，求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知A1，A2分別為橢圓
y2
4
+
x2
3
=1的下頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的下焦點(diǎn)，P為橢圓上異于A1，A2點(diǎn)的任意一點(diǎn)，直線A1P，A2P分別交直線l：y=m（m＜-2）于M，N點(diǎn)
（1）當(dāng)點(diǎn)P位于y軸右側(cè)，且PF∥l時(shí)，求直線A1M的方程；
（2）是否存在m值，使得以MN為直徑的圓過(guò)F點(diǎn)？若存在加以證明，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）由（2）問(wèn)所得m值，求線段MN最小值．

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同步練習(xí)冊(cè)答案