Question

設向量a，b滿足：|a|=3，|b|=4，a•b=0．以|a|，|b|，|a+b|為邊長構成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數最多為

 

個．

Answer 1

分析：根據|a|=3，|b|=4，a•b=0．得到|a+b|的值，知道三角形是邊長為3、4、5，構成直角三角形，和這個直角三角形內切的圓半徑為1，此時有三個交點，圓的半徑不變，改變位置，最多有四個交點．

解答：解：∵|a|=3，|b|=4，a•b=0
可得|a+b|=

a2+b2+2a•b

=5，
設該三角形內切圓的半徑為r，
則（4-r）+（3-r）=5?r=1，
∴對于半徑為1的圓有一個位置是正好是三角形的內切圓，此時只有三個交點，
對于圓的位置稍作移動，則能實現4個交點，但不能得到5個以上的交點．

點評：向量是數學中重要和基本的概念之一，它既是代數的對象，又是幾何的對象，作為代數的對象，向量可以運算，而作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面切線等幾何對象．