Question

15．設(shè)函數(shù)$f（x）=4sinx•{sin^2}（{\frac{π}{4}+\frac{x}{2}}）+cos2x$，若|f（x）-m|＜2成立的充分條件是$\frac{π}{6}≤x≤\frac{2π}{3}$，則實數(shù)m的取值范圍為（0，5）．

Answer 1

分析 利用倍角公式、誘導(dǎo)公式化簡f（x），利用其單調(diào)性可得f（x）的值域，再利用絕對值不等式的解法即可得出．

解答 解：函數(shù)$f（x）=4sinx•{sin^2}（{\frac{π}{4}+\frac{x}{2}}）+cos2x$
=4sinx•$\frac{1-cos（\frac{π}{2}+x）}{2}$+cos2x=2sinx（1+sinx）+1-2sin²x=2sinx+1，
∵$\frac{π}{6}≤x≤\frac{2π}{3}$，∴sinx∈$[\frac{1}{2}，1]$，∴f（x）∈[2，3]．
∵|f（x）-m|＜2成立的充分條件是$\frac{π}{6}≤x≤\frac{2π}{3}$，
∴f（x）-2＜m＜f（x）+2，即0＜m＜5．
則實數(shù)m的取值范圍為（0，5）．
故答案為：（0，5）．

點評 本題考查了倍角公式、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的單調(diào)性、絕對值不等式的解法、充要條件，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．