Question

已知函數(shù)f（x）=，其中a，b，c是以d為公差的等差數(shù)列，，且a＞0，d＞0．設(shè)x為f（x）的極小值點，在[1-]上，f′（x）在x₁處取得最大值，在x₂處取得最小值，將點（x，f（x）），（x₁，f′（x₁）），（x₂，f′（x₂，f（x₂））依次記為A，B，C．
（I）求x的值；
（II）若△ABC有一邊平行于x軸，且面積為，求a，d的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先對函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，把2b=a+c代入整理．令f‘（x）=0得x=-1或x=-，故可根據(jù)-＜x＜-1和x＞-1時f‘（x）于0的關(guān)系，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）的最小值時x的值．
（2）先求出導(dǎo)函數(shù)的對稱軸，根據(jù)對稱軸的范圍確定導(dǎo)函數(shù)的最大值和最小值及取得最值時的x的值，從而確定A，B，C的坐標(biāo)，再由三角形ABC有一條邊平行于x軸知AC平行于x軸，得到a與d的關(guān)系，再由三角形ABC的面積為2+和b=a+d，c=a+2d得到d的方程，最后求出a，d的值．
解答：解：（I）解：∵2b=a+c
∴f'（x）=ax²+2bx+x=ax²+（a+c）x+c=（x+1）（ax+c）
令f'（x）=0，得x=-1或x=-
∵a＞0，d＞0
∴0＜a＜b＜c
∴＞1，-＜-1
當(dāng)-＜x＜-1時，f‘（x）＜0，
當(dāng)x＞-1時，時，f‘（x）＞0，
所以f（x）在x=-1處取得最小值即x=-1
（II）∵f'（x）=ax²+2bx+x（a＞0）
∴函數(shù)f'（x）的圖象的開口向上，對稱軸方程為x=-
由-＞1知|（1-）-（-）|＜|0-（-）|
∴f'（x）在[1-，0]上的最大值為f'（0）=c，即x₁=0．
又由＞1，知-∈[1-，0]
∴當(dāng)x=-時，
f‘（x）取得最小值為f‘（-）=，即x₂=-
∵f（x）=f（-1）=-
∴A（-1，-），B（0，c），C（-，-）
由三角形ABC有一條邊平行于x軸知AC平行于x軸，
所以-=，即a²=3d①
又由三角形ABC的面積為2+得（-1+）•（c+）=2+
利用b=a+d，c=a+2d，得d+=2+②
聯(lián)立①②可得d=3，a=3．
點評：本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值的判定，閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值，等差數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用，考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力