Question

13．設(shè)矩陣M=$[\begin{array}{l}{a}&{0}\\{2}&{1}\end{array}]$的一個特征值為2，若曲線C在矩陣M變換下的方程為x²+y²=1，求曲線C的方程．

Answer 1

分析 由已知可得矩陣M的特征多項式，由一個特征值為2求得a值，再由矩陣變換得到$\left\{\begin{array}{l}x'=2x\\ y'=2x+y\end{array}\right.$，代入x²+y²=1求曲線C的方程．

解答 解：由題意，矩陣M的特征多項式f（λ）=（λ-a）（λ-1），
∵矩陣M有一個特征值為2，f（2）=0，∴a=2．
∴M$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}&{0}\\{2}&{1}\end{array}][\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}x'=2x\\ y'=2x+y\end{array}\right.$，
代入方程x²+y²=1，得（2x）²+（2x+y）²=1，
即曲線C的方程為8x²+4xy+y²=1．

點評 本題考查特征值和特征向量的應(yīng)用，正確理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．