Question

（A題）如圖，在橢圓+=1（a＞0）中，F₁，F₂分別是橢圓的左右焦點，B，D分別為橢圓的左右頂點，A為橢圓在第一象限內弧上的任意一點，直線AF₁交y軸于點E，且點F₁，F₂三等分線段BD．
（1）若四邊形EBCF₂為平行四邊形，求點C的坐標；
（2）設m=，n=，求m+n的取值范圍．

Answer 1

解：（1）因為F₁，F₂三等分線段BD，所以|F₁F₂|=|BD|，即2c=，所以a=3c①，
又a²=b²+c²②，b²=8③，聯立①②③解得a=3，c=1，
所以B（-3，0），F₁（-1，0），F₁為BF₂的中點，
因為四邊形EBCF₂為平行四邊形，所以C，E關于F₁（-1，0）對稱，
設C（x₀，y₀），則E（-2-x₀，-y₀），
因為E在y軸上，所以-2-x₀=0，解得x₀=-2，
又因為點C（x₀，y₀）在橢圓上，所以，
又x₀=-2，所以，解得y₀=±，依題意，
因此點C的坐標為（-2，-）；
（2）依題意直線AC的斜率存在，所以可設直線AC：y=k（x+1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由，得（8+9k²）x²+18k²x+9（k²-8）=0，，，
所以m======，其中h為點O到AE的距離，
n=======，
m+n=+==，
=2+=2+=2+=2-=-．
因為點A在第一象限，所以0＜k＜2，即0＜k²＜8，
令t=-，則，所以0＜8-＜8，即0＜＜，解得t＞2，
故m+n的取值范圍是t＞2．
分析：（1）由F₁，F₂三等分線段BD，得|F₁F₂|=|BD|，即2c=①，又a²=b²+c²②，b²=8③，聯立方程組即可求得a，c值，從而可得F₁坐標為（-1，0），由四邊形EBCF₂為平行四邊形及F₁為BF₂的中點，知F₁為CE中點，即C、E關于點F₁對稱，設C（x₀，y₀），則E（-2-x₀，-y₀），根據C在橢圓上及E在y軸上可得關于x₀的方程組，由此可求得C點坐標；
（2）易知直線AC存在斜率，設直線AC：y=k（x+1），A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由，得（8+9k²）x²+18k²x+9（k²-8）=0，，，
則m+n=+=+=+，利用弦長公式及韋達定理可把m+n表示為關于k的函數，由點A在第一象限可求得k的取值范圍，根據k的范圍即可求得m+n的取值范圍；
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、橢圓方程的求解，考查函數思想，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，解決（2）問的關鍵是把m+n表示為關于直線AC斜率k的函數，體現函數思想．