Question

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）討論函數(shù)在上的單調性；

（Ⅱ）判斷當時，與的圖象公切線的條數(shù)，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，函數(shù)在上單調遞減；

當時，在上單調遞減，在上單調遞增；（Ⅱ）兩條，理由見解析.

【解析】

（Ⅰ）對函數(shù)進行求導，然后分類討論，根據(jù)導函數(shù)的正負性求出函數(shù)的單調區(qū)間；

（Ⅱ）利用導數(shù)的幾何意義求出與的圖象的切線，將兩個切線方程聯(lián)立，消元得到一個方程，根據(jù)方程解的個數(shù)就能確定公切線的條數(shù)，構造新函數(shù)，利用新函數(shù)的導數(shù)，結合零點存在原理進行求解即可.

（I），

當時，，所以函數(shù)在上單調遞減；

當時，由得：；由得：

所以，函數(shù)在上單調遞減，函數(shù)在上單調遞增.

（Ⅱ）函數(shù)在點處的切線方程為，

即，

函數(shù)在點處的切線方程為，即.

若與的圖象有公切線.

則

由①得代入②整理得

③

由題意只須判斷關于的方程在上解的個數(shù)

令

令，解得

		0
	單調遞減	極小值	單調遞增

且圖象在上連續(xù)不斷

方程在及上各有一個根

即與的圖象有兩條公切線.