Question

【題目】已知拋物線和軸上的定點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)作一條直線交于、兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于、兩點(diǎn).

（1）求證：直線過(guò)定點(diǎn)；

（2）求直線與直線最大夾角為，求.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）當(dāng)直線、斜率不存在時(shí)，可直接求解；當(dāng)直線、斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，，，不妨設(shè)，聯(lián)立方程組得，，，，結(jié)合可得直線，即可得證；

（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，易證，利用求出最大值即可得解.

（1）證明：由題意知拋物線焦點(diǎn)，

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線，易得，，

則直線，，

所以點(diǎn)，，此時(shí)直線；

當(dāng)線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，，，不妨設(shè)，

則，化簡(jiǎn)得，，

則，，

①當(dāng)時(shí)，則，所以，，點(diǎn)，

所以直線，點(diǎn)，

直線，則解得點(diǎn)，

所以直線；

②當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線，

則，結(jié)合化簡(jiǎn)得，

此方程有一根為，所以，所以，所以，

同理可得，

由，，可得，，

所以，

所以直線，化簡(jiǎn)得，

可得直線過(guò)點(diǎn)；

綜上，直線恒過(guò)點(diǎn)；

（2）由（1）知，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，，

設(shè)直線與直線的夾角為，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

所以對(duì)于直線與直線最大夾角，.