【題目】如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，，為的中點(diǎn).

（1）證明：平面.

（2）若是等邊三角形，求二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形三線合一證明和即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解二面角.

（1）證明：連接.

因?yàn)?/span>，，，所以，所以.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，且，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

（2）解：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>是等邊三角形，所以.

由（1）可知平面，則，，兩兩垂直，故以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)作的平行線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)榈酌?/span>是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，所以.

因?yàn)?/span>是等邊三角形，所以.

所以，，，，則，.

設(shè)平面的法向量，

則，令，得.

易知平面的一個(gè)法向量為，

記二面角為，則，

故.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）若函數(shù)僅在處取得極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

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①甲同學(xué)：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為；

②乙同學(xué)：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，總體均值為；

③丙同學(xué)：個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，總體均值為，總體方差為；

則可以判定數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀同學(xué)為（）

A. 甲、丙B. 乙、丙C. 甲、乙D. 甲、乙、丙

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C.命題“，”的否定是“，”

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方案2：連猜三道“生活”類試題．

設(shè)職工甲猜中一道“科技”類試題的概率為0.5，猜中一道“生活”類試題的概率為0.6．

(1)你認(rèn)為職工甲選擇哪種方案通過(guò)競(jìng)猜的可能性大?并說(shuō)明理由．

(2)職工甲選擇哪一種方案所得平均分高?并說(shuō)明理由．

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（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明點(diǎn)在一條定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出該直線的方程；

（3）求面積的最大值.

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