Question

已知：三條拋物線(xiàn)y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b（a，b，c是不為0，且互不相等的不實(shí)數(shù)），證明此三條拋物線(xiàn)至少有一條與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：假設(shè)這三條拋物線(xiàn)沒(méi)有一條與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則它們的判別式都小于或等于零，求得（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≤0 ①．由a，b，c是不為0，且互不相等的不實(shí)數(shù)，可得 （a-b）²+（b-c）²+（a-c）²＞0，這與①相矛盾，故假設(shè)不成立，原命題得證．

解答： 證明：用反證法，假設(shè)這三條拋物線(xiàn)沒(méi)有一條與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則它們的判別式都小于或等于零，
即 4b²-4ac≤0，且 4c²-4ab≤0，且4a²-4bc≤0，
所以，（4b²-4ac）+（4c²-4ab）+（4a²-4bc）≤0，
即 2（a²+b²+c²）-2ab-2bc-2ac≤0，即 （a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≤0 ①．
因?yàn)閍，b，c是不為0，且互不相等的不實(shí)數(shù)，
所以，（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²＞0，這與①相矛盾，故假設(shè)不成立，
所以原命題成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，用反證法證明數(shù)學(xué)命題，屬于基礎(chǔ)題．