Question

9．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，過右焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=3．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）A，B，C為橢圓E上不同的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，試問：△ABC的面積是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率及橢圓的通徑公式，即可求得a和b的值，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得C點(diǎn)坐標(biāo)，將C代入橢圓方程，求得4m²=4k²+3，利用弦長公式及三角形的面積公式即可求得△ABC的面積是定值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，則a=2c，①
通徑丨MN丨=$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{2（{a}^{2}-{c}^{2}）}{a}$=3，②
由①②解得：a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）設(shè)直線AB方程為：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，△=-48（m²-4k²-3）≥0，
由x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$
∴y₁+y₂=kx₁+m+kx₂+m=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{OC}$=-（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）=（$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，-$\frac{6m}{3+4{k}^{2}}$），
∵C點(diǎn)在橢圓E上，∴$\frac{（\frac{8km}{3+4{k}^{2}}）^{2}}{4}+\frac{（-\frac{6m}{3+4{k}^{2}}）^{2}}{3}=1$，
解得4m²=4k²+3，滿足△≥0，…..10分
∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{1+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}$•$\sqrt{12{k}^{2}+9-3{m}^{2}}$，…12分
∴O到直線的距離d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
S_△ABC=3_△AOB=$\frac{3}{2}$丨AB丨•d=$\frac{9}{2}$．…14分
直線AB斜率不存在時，|AB|=2，d=3，S_△ABC=$\frac{9}{2}$．
△ABC的面積為定值$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計算能力，屬于中檔題．