Question

【題目】某廠家擬在2010年舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量（即該廠的年產(chǎn)量）x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元（m≥0）滿足x=3﹣ （k為常數(shù)），如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量只能是1萬(wàn)件．已知2010年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）．
（1）將2010年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元的函數(shù)；
（2）該廠家2010年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可知當(dāng)m=0時(shí)，x=1（萬(wàn)件），

∴1=3﹣kk=2．

∴x=3﹣ ．

每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為1.5× （元），

∴2010年的利潤(rùn)y=x ﹣（8+16x+m）

=4+8x﹣m=4+8 ﹣m

=﹣ +29（m≥0）

（2）解：∵m≥0時(shí)， +（m+1）≥2 =8，

∴y≤﹣8+29=21，當(dāng)且僅當(dāng) =m+1m=3（萬(wàn)元）時(shí)，

ymax=21（萬(wàn)元）．

所以當(dāng)該廠家2010年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大

【解析】（1）由題意可知當(dāng)m=0時(shí)，x=1由滿足x=3﹣ ，即可得出k值，從而得出每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格，從而得出2010年的利潤(rùn)的表達(dá)式即可；（2）對(duì)于（1）中求得的解析式，根據(jù)其中兩項(xiàng)之積為定值結(jié)合利用基本不等式此函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x值，從而解決該廠家2010年的促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大．