Question

數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1000，公比為

1

10

的等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足bk=

1

k

(lga1+lga2+…+lgak)（k∈N^*），
（1）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的最大值；
（2）求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和S_n′．

Answer 1

分析：（1）首先寫出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式得到數(shù)列{lga_n}是首項(xiàng)為3，公差為-1的等差數(shù)列，即得到數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式假設(shè)第n為正，第n+1項(xiàng)為負(fù)解出n的值即可求出和的最大值；
（2）由（1）知當(dāng)n≤7時(shí)，b_n≥0，當(dāng)n＞7時(shí)，b_n＜0，分兩種情況利用等差數(shù)列求和公式求出s_n′即可．

解答：解：（1）由題意：a_n=10^4-n，∴l(xiāng)ga_n=4-n，
∴數(shù)列{lga_n}是首項(xiàng)為3，公差為-1的等差數(shù)列，
∴lga1+lga2++lgak=3k-

k(k-1)

2

，
∴bn=

1

n

[3n-

n(n-1)

2

]=

7-n

2

由

bn≥0 bn+1≤0

，得6≤n≤7，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和的最大值為S6=S7=

21

2

（2）由（1）當(dāng)n≤7時(shí)，b_n≥0，當(dāng)n＞7時(shí)，b_n＜0，
∴當(dāng)n≤7時(shí)，Sn′=b1+b2++bn=(

3+ 7-n 2

2

)n=-

1

4

n2+

13

4

n
當(dāng)n＞7時(shí)，S_n^′=b₁+b₂++b₇-b₈-b₉--b_n
=2S7-(b1+b2++bn)=

1

4

n2-

13

4

n+21
∴S_n′=

- 1 4 n2+ 13 4 n       (n≤7) 1 4 n2- 13 4 n+21   (n＞7)

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)列求和的公式，以及等差數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)用能力．