Question

12．在△ABC中，邊AC=1，AB=2，角A=$\frac{2}{3}π$，過A作AP⊥BC于P，且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，則λμ=（　�。�

• A． $\frac{10}{49}$
• B． $\frac{12}{49}$
• C． $\frac{6}{25}$
• D． $\frac{4}{25}$

Answer 1

分析 利用向量垂直與數(shù)量積的關系、向量共線定理即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$2×1×cos\frac{2π}{3}$=-1．
∵AP⊥BC，∴$\overrightarrow{AP}$$•\overrightarrow{BC}$=（λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$）•$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=（λ-μ）$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$-$λ{\overrightarrow{AB}}^{2}$+$μ{\overrightarrow{AC}}^{2}$=-（λ-μ）-4λ+μ=-5λ+2μ=0，
與λ+μ=1聯(lián)立解得：$λ=\frac{2}{7}$，μ=$\frac{5}{7}$．
則λμ=$\frac{10}{49}$．
故選：A．

點評 本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關系、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．