Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的非負(fù)半軸上，點(diǎn)到短
軸端點(diǎn)的距離是4，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值是6.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；
(2)若為焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，問是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 離心率  
(2)存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值，其定值為

本試題主要是考查了橢圓方程的求解以及軌跡方程的求解來判定點(diǎn)是否存在。
（1）根據(jù)已知中橢圓的幾何性質(zhì)得關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，進(jìn)而解得。
（2）利用比值為定值，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用M的軌跡方程求解得到結(jié)論。
解：(1)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為，由已知得
.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.……………………6分
離心率…………………………7分
(2),設(shè)由得
……………………10分
化簡得，即……………………12分
故存在一個(gè)定點(diǎn)，使到點(diǎn)的距離為定值，其定值為………13分