四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，邊長為a，PD=a，PA=PC=

⑴在這個四棱錐中放入一個球，求球的最大半徑

⑵求四棱錐外接球的半徑

 

答案：
解析：

⑴解：

∵PD=a，AD=a，PA=

        ∴PD2+DA2=PA2

                            同理∴∠PDA=90°

              即PD⊥DA，PD⊥DC

              ∵AO∩DC=D

           ∴PD⊥平面ABCD

       設此球半徑為R，最大的球應與四棱錐各個面都相切，設球心為S，

              連SA、SB、SC、SD、 SP，則把此四棱錐分為五個棱錐，設它們的高均為R

                  

                   

                   ∵

                     

                            ∴

                ∴

                ∴球的最大半徑為（）

⑵解：

設PB的中點為E

∵在Rt△PDB中：EP=EB=ED

                                   在Rt△PAB中：EA=EP=EB

                                  在Rt△PBC中：EP=EB=EC

                              ∴EP=EB=EA=EC=ED

                              ∴E為四棱錐外接球的球心

                     則EP為外接球的半徑

                  ∵EP=

                              ∴

                              ∴四棱錐外接球的半徑為

 


練習冊系列答案
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