Question

已知函數f（x）=x-

1

x+1

，g（x）=x²-2ax+4若對任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）＞g（x₂），求實數a的取值范圍？

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：求出f（x）_min=f（0）=-1，根據題意可知存在x∈[1，2]，使得g（x）=x²-2ax+4≤-1，分離參數，要使a≥

x

2

+

5

2x

），在x∈[1，2]能成立，只需使a≥h（x）_min，即可得出結論．

解答： 解：∵f（x）=x-

1

x+1

，x∈[0，1]，
∴f′（x）=1+

1

(x+1)2

＞0，
∴f（x）在[0，1]上單調遞增
∴f（x）_min=f（0）=-1
根據題意可知存在x∈[1，2]，使得g（x）=x²-2ax+4≤-1．
即a≥

x

2

+

5

2x

能成立，
令h(x)=

x

2

+

5

2x

，則要使a≥h（x），在x∈[1，2]能成立，
只需使a≥h（x）_min，
又函數h(x)=

x

2

+

5

2x

在x∈[1，2]上單調遞減，
∴h(x)min=h(2)=

9

4

，
故只需a≥

9

4

．

點評：本題考查的知識點函數恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題，分離參數求最值是關鍵．