Question

已知f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）在一個周期內的圖象如圖所示，A為圖象的最高點，B，C為圖象與x軸的交點，且△ABC為正三角形．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）當x∈[0，2]時，求函數f（x）的值域；
（Ⅲ）若f（x₀）=

6 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀-1）．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數的圖象,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用二倍角的余弦公式降冪后化積，由△ABC為正三角形求得函數的半周期，從而求得周期，則ω的值可求；
（Ⅱ）直接由x的范圍求函數的值域；
（Ⅲ）由f（x₀）=

6 3

5

，結合（Ⅰ）求得sin（

πx0

4

+

π

3

）=

3

5

，再結合x₀∈（-

10

3

，

2

3

）求得cos（

πx0

4

+

π

3

），寫出f（x₀-1）后展開兩角差的正弦得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3，得：
f（x）=3cosωx+

3

sinωx=2

3

sin（ωx+

π

3

）．
又正三角形ABC的高為2

3

，從而BC=4．
∴函數f（x）的周期T=4×2=8，即

2π

ω

=8，ω=

π

4

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

）．
當x∈[0，2]時，

π

4

x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴2

3

sin(

π

4

x+

π

3

)∈[

3

，2

3

]；
（Ⅲ）∵f（x₀）=

6 3

5

，
由（1）有f（x₀）=2

3

sin（

πx0

4

+

π

3

）=

6 3

5

，
即sin（

πx0

4

+

π

3

）=

3

5

．
由x₀∈（-

10

3

，

2

3

），
知

πx0

4

+

π

3

∈（-

π

2

，

π

2

），
∴cos（

πx0

4

+

π

3

）=

1-( 3 5 )2

=

4

5

．
故f（x₀-1）=2

3

sin(

π

4

x0-

π

4

+

π

3

)
=2

3

sin[(

π

4

x0+

π

3

)-

π

4

]
=2

3

×(

3

5

×

2

2

-

4

5

×

2

2

)
=-

6

5

．

點評：本題考查了y=Asin（ωx+φ）的圖象，考查了三角函數值得求法，考查了兩角和與差的三角函數，解答此體的關鍵是拆角和配角，是中檔題．