Question

14．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作傾斜角為60°的直線l，若直線l與拋物線在第一象限的交點為A并且點A也在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線上，則雙曲線的離心率為$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把A的坐標用p表示，代入雙曲線的漸近線方程得到a，b的關系，結合a²+b²=c²求得雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，設A（x₀，y₀），則|AF|=2（x₀-$\frac{p}{2}$），
又|AF|=x₀+$\frac{p}{2}$，∴2（x₀-$\frac{p}{2}$）=x₀+$\frac{p}{2}$
解得x₀=$\frac{3p}{2}$，y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AF|=$\sqrt{3}$p，
∵點A在雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線上，
∴$\sqrt{3}$p=$\frac{a}•\frac{3}{2}p$，解得：$^{2}=\frac{4}{3}{a}^{2}$，
由a²+b²=c²，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{7}{3}$，∴e=$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．
故答案為$\frac{{\sqrt{21}}}{3}$．：

點評 本題考查了拋物線與雙曲線的幾何性質，考查了數形結合的解題思想方法和數學轉化思想方法，是中檔題．