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(2012•煙臺一模)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).
(1)求證:數列{an+1}是等比數列,并寫出數列{an}的通項公式;
(2)若數列{bn}滿足4bn-
n
2
=(an+1)n
,求S=
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
的值.
分析:(1)根據題意可證得
an+1+1
an+1
=2,從而可求得an+1的通項公式,繼而可得數列{an}的通項公式;
(2)由(1)可知an=2n-1,再由4bn-
n
2
=(an+1)n可求得bn=
1
2
(n2+n),利用裂項法可求得S=
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
的值.
解答:證明:(1)an+1=2an+1,
∴an+1+1=2(an+1),
又a1=1,
∴a1+1≠0,an+1≠0,
an+1+1
an+1
=2,
∴數列{an+1}是首項為2,公比為2的等比數列.
即an+1=2n,因此an=2n-1.        …(6分)
(2)∵4bn-
n
2
=(an+1)n,
4bn-
n
2
=2n2,
∴2bn-n=n2
即bn=
1
2
(n2+n).…(9分)
∴S=
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn

=2(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1

=2(1-
1
n+1

=
2n
n+1
.…(12分)
點評:本題考查等比數列的通項公式,考查裂項法求和,求得
1
bn
=2(
1
n
-
1
n+1
)是關鍵,考查轉化與運算能力,屬于中檔題.
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