【題目】已知函數(shù)

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若,對恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

3)當(dāng)時,設(shè).若正實數(shù),滿足,,,證明:.

【答案】1)詳見解析;(2;(3)證明見解析

【解析】

1)求導(dǎo)后,分別在兩種情況下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)通過分離變量得到,令,利用導(dǎo)數(shù)可求得最大值,由此得到;

3)設(shè),以為變量,令,通過判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可確定上單調(diào)遞增,得到,從而得到結(jié)論.

1)由題意知:定義域為,,

,則

①當(dāng)時,,即恒成立,

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;無單調(diào)遞減區(qū)間;

②當(dāng)時,令,

解得:,可知,

當(dāng)時,,即

當(dāng)時,,即;

的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為;

綜上所述:①當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,無單調(diào)遞減區(qū)間;

②當(dāng)時,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為.

2恒成立,即為對任意的,都有,

設(shè),則,

,則,

上單調(diào)遞減,又,

∴當(dāng)時,,即,單調(diào)遞增;

當(dāng),即,單調(diào)遞減,

,

∴實數(shù)的取值范圍為.

3)證明:當(dāng)時,,

不妨設(shè),以為變量,令

,

,即,又為增函數(shù),

;

,,上單調(diào)遞增,

,

.

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