Question

12．若曲線C_l：x²+y²-2x=0與曲線C₂：（x-1）（y-mx-m）=0有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． $（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，0}）∪（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• C． $[{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}]$
• D． $（{-∞，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）∪（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，+∞}）$

Answer 1

分析 把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，直線過定點(diǎn)（-1，0），當(dāng)直線y-mx-m=0與圓相切時(shí)，根據(jù)圓心到直線的距離d=$\frac{2|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=r=1，求出m的值，數(shù)形結(jié)合求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：由題意可知曲線C₁：x²+y²-2x=0表示一個(gè)圓，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：
（x-1）²+y²=1，所以圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑r=1；
C₂：（x-1）（y-mx-m）=0表示兩條直線x=1
和y-mx-m=0，
由直線y-mx-m=0可知：此直線過定點(diǎn)（-1，0），
在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖所示：
當(dāng)直線y-mx-m=0與圓相切時(shí)，
圓心到直線的距離d=$\frac{2|m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=r=1，
化簡(jiǎn)得：m²=$\frac{1}{3}$，m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
則直線y-mx-m=0與圓相交時(shí)，m∈$（{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，
故選A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．