Question

2．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，當x＞0時，f（x）+xf′（x）＞0（其中f′（x）為f（x）的導函數(shù)），則f（x）＞0的解集為（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（0，2）
• C． （-2，0）∪（2，+∞）
• D． （-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析 由當x＞0時，f（x）+xf′（x）＞0，可得g（x）=xf（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（2）=0，可得關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）
令g（x）=xf（x），
∴g（-x）=g（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
又∵f（2）=0，
∴f（-2）=-f（2）=0，
∴g（2）=g（-2）=0
又∵當x＞0時，f（x）+xf′（x）＞0，
即當x＞0時，g′（x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，0）是減函數(shù)，
∴當x＞0時，f（x）＞0，即g（x）＞g（2），解得：x＞2
∴當x＜0時，f（x）＞0，即g（x）＜g（-2），解得：-2＜x＜0，
∴不等式xf（x）＜0的解集為：（-2，0）∪（2，+∞），
故（-2，0）∪（2，+∞）
故選：C．

點評 本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，著重考查奇函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．