【題目】如圖，正方形、的邊長都是1，而且平面、互相垂直.點M在上移動，點N在上移動，若（）.

（1）當a為何值時，的長最�。�

（2）當長最小時，求面與面所成的二面角α的余弦值.

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）作交于點P，交于點Q，連接，易得是平行四邊形，再將表示為關于a的函數(shù)，利用配方法求最小值即可；

（2）取的中點G，連接、，根據(jù)二面角的平面角的定義可知即為二面角α的平面角，然后利用余弦定理求解即可.

解：（1）作交于點P，

交于點Q，連接，依題意可得，且，

即是平行四邊形

∴. 由已知，，，

∴，

即

∴

（）

所以當，即M，N分別移動到，的中點時，的長取最小值；

（2）取的中點G，連接、，

∵，，

∴，，

∴即為二面角α的平面角.

又，

所以由余弦定理有.

故長最小時，面與面所成的二面角α的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐PABC中，底面ABC，，，，D，E分別是AC，PC的中點，F是PB上一點，且，M為PA的中點，二面角的大小為45°.

（1）證明：平面AEF；

（2）求直線AF與平面BCM所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解全市統(tǒng)考情況，從所有參加考試的考生中抽取4000名考生的成績，頻率分布直方圖如下圖所示.

（1）求這4000名考生的半均成績（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點作代表）；

（2）由直方圖可認為考生考試成績z服從正態(tài)分布，其中分別取考生的平均成績和考生成績的方差，那么抽取的4000名考生成績超過84.81分（含84.81分）的人數(shù)估計有多少人？

（3）如果用抽取的考生成績的情況來估計全市考生的成績情況，現(xiàn)從全市考生中隨機抽取4名考生，記成績不超過84.81分的考生人數(shù)為，求.（精確到0.001）

附：①；

②，則；

③.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設集合，設集合是集合的非空子集，中的最大元素和最小元素之差稱為集合的直徑. 那么集合所有直徑為的子集的元素個數(shù)之和為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，，

（Ⅰ）證明；AC⊥BP；

（Ⅱ）求直線AD與平面APC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】光伏發(fā)電是利用太陽能電池及相關設備將太陽光能直接轉化為電能.近幾年在國內(nèi)出臺的光伏發(fā)電補貼政策的引導下，某地光伏發(fā)電裝機量急劇上漲，如下表：

年份

2011年

2012年

2013年

2014年

2015年

2016年

2017年

2018年

年份代碼

1

2

3

4

5

6

7

8

新增光伏裝機量兆瓦

0.4

0.8

1.6

3.1

5.1

7.1

9.7

12.2

某位同學分別用兩種模型：①，②進行擬合，得到相應的回歸方程并進行殘差分析，殘差圖如下（注：殘差等于）：

經(jīng)過計算得，，，，其中，.

（1）根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應該選擇哪個模型？并簡要說明理由.

（2）根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)建立關于的回歸方程，并預測該地區(qū)2020年新增光伏裝機量是多少.（在計算回歸系數(shù)時精確到0.01）

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PCD，，，，E為AD的中點，AC與BE相交于點O.

（1）證明：平面ABCD.

（2）求直線BC與平面PBD所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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