Question

9．如圖1，已知直線l₁∥l₂，且l₃和l₁、l₂分別交于A、B兩點(diǎn)，l₄和l₁、l₂分別交于C、D兩點(diǎn)，∠ACP=∠1，∠BDP=∠2，∠CPD=∠3．點(diǎn)P在線段AB上．
（1）若∠1=22°，∠2=33°，則∠3=55°
（2）試找出∠1，∠2，∠3之間的等量關(guān)系說明理由．
（3）應(yīng)用（2）中的結(jié)論解答下題：
如圖2，點(diǎn)A在B處北偏東40°的方向上，在C處的北偏西45°的方向上，求∠BAC的度數(shù)．
（4）如果點(diǎn)P在直線l₃上且在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件不變，試探究∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系．（點(diǎn)P和A、B兩點(diǎn)不重合，直接寫出結(jié)論即可）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求解；
（3）過A點(diǎn)作AF∥BD，則AF∥BD∥CE，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；
（4）分當(dāng)P點(diǎn)在A的外側(cè)與當(dāng)P點(diǎn)在B的外側(cè)兩種情況進(jìn)行分類討論即可．

解答 解：（1）∠1+∠2=∠3．
∵l₁∥l₂，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，
∴∠3=∠1+∠2=55°，
故答案為：55°；
（2）∠1+∠2=∠3，
∵l₁∥l₂，
∴∠1+∠PCD+∠PDC+∠2=180°，
在△PCD中，∠3+∠PCD+∠PDC=180°，
∴∠1+∠2=∠3；
（3）過A點(diǎn)作AF∥BD，則AF∥BD∥CE，
則∠BAC=∠DBA+∠ACE=40°+45°=85°；
（4）當(dāng)P點(diǎn)在A的外側(cè)時(shí)，如圖2，過P作PF∥l₁，交l₄于F，
∴∠1=∠FPC．
∵l₁∥l₄，
∴PF∥l₂，
∴∠2=∠FPD
∵∠CPD=∠FPD-∠FPC
∴∠CPD=∠2-∠1．
當(dāng)P點(diǎn)在B的外側(cè)時(shí)，如圖3，過P作PG∥l₂，交l₄于G，
∴∠2=∠GPD
∵l₁∥l₂，
∴PG∥l₁，
∴∠1=∠CPG
∵∠CPD=∠CPG-∠GPD
∴∠CPD=∠1-∠2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，利用了等量代換的思想，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．