Question

【題目】如圖,在四棱錐中, 平面平面,.

（1）求證:平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在點,使得平面？若存在, 求的值；若不存在, 說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由面面垂直的性質(zhì)定理知AB⊥平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，再由線面垂直的判定定理可知平面；（Ⅱ）取的中點，連結(jié)，以O為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法可求出直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（Ⅲ）假設(shè)存在，根據(jù)A，P，M三點共線，設(shè)，根據(jù)BM∥平面PCD，即（為平面PCD的法向量），求出的值，從而求出的值.

試題解析：（Ⅰ）因為平面平面，，

所以平面.

所以.

又因為，

所以平面.

（Ⅱ）取的中點，連結(jié).

因為，所以.

又因為平面，平面平面，

所以平面.

因為平面，所以.

因為，所以.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系.由題意得，

.

設(shè)平面的法向量為，則

即

令，則.

所以.

又，所以.

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）設(shè)是棱上一點，則存在使得.

因此點.

因為平面，所以平面當(dāng)且僅當(dāng)，

即，解得.

所以在棱上存在點使得平面，此時.