Question

13．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，D，E分別是被BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱CC₁上，AB=BC=CA=CF=2，AA₁=3，則下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 設(shè)平面ADF與平面BEC₁的交線(xiàn)為l，則直線(xiàn)C₁E與l相交
• B． 在棱A₁C₁上存在點(diǎn)N，使得三棱錐N-ADF的體積為$\frac{\sqrt{3}}{7}$
• C． 設(shè)點(diǎn)M在BB₁上，當(dāng)BM=1時(shí)，平面CAM⊥平面ADF
• D． 在棱A₁B₁上存在點(diǎn)P，使得C₁P⊥AF

Answer 1

分析 在A 中，連接CE，連接OF，推導(dǎo)出EC₁∥l；在B中，若存在點(diǎn)N在A₁C₁上，則V_D-AFN最小值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$；在C中，當(dāng)BM=1時(shí)，平面CAM⊥平面ADF；在D中：過(guò)C₁作C₁G∥FA，交AA₁于點(diǎn)G，推導(dǎo)出C₁P⊥A₁C₁．

解答 解：在A 中：連接CE，交AD于點(diǎn)O，則O為△ABC重心，
連接OF，由已知得OF∥EC₁，則EC₁∥l，故A錯(cuò)；
在B中：若存在點(diǎn)N在A₁C₁上，則V_N-ADF=V_D-AFN，
當(dāng)N與C₁重合時(shí)，V_D-AFN取最小值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$，故B錯(cuò)；
在C中：當(dāng)BM=1時(shí)，由題意得△CBM≌△FCD，則∠BCM+∠CDF=90°，
∴CM⊥DF．
又∵AD⊥平面CB₁，∴AD⊥CM，又DF∩AD=D，∴CM⊥平面ADF，
∵CM?平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正確；
在D中：過(guò)C₁作C₁G∥FA，交AA₁于點(diǎn)G，
若在A₁B₁上存在點(diǎn)P，使得C₁P⊥AF，則C₁P⊥C₁G，
又C₁P⊥GA₁，∴C₁P⊥平面A₁C₁G₁，∴C₁P⊥A₁C₁，矛盾，故D錯(cuò)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．