【題目】設函數(shù)，，其中，為正實數(shù).

（1）若的圖象總在函數(shù)的圖象的下方，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設，證明：對任意，都有.

【答案】（1） （2）證明見解析

【解析】

(1)據(jù)題意可得在區(qū)間上恒成立，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求出滿足不等式的的取值范圍；(2)不等式整理為，由(1)可知當時，，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而證明在區(qū)間上成立，從而證明對任意，都有.

（1）解：因為函數(shù)的圖象恒在的圖象的下方，

所以在區(qū)間上恒成立.

設，其中，

所以，其中，.

①當，即時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，

故成立，滿足題意.

②當，即時，設，

則圖象的對稱軸，，，

所以在上存在唯一實根，設為，則，，，

所以在上單調(diào)遞減，此時，不合題意.

綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.

（2）證明：由題意得，

因為當時，，，

所以.

令，則，

所以在上單調(diào)遞增，，即，

所以，從而.

由（1）知當時，在上恒成立，整理得.

令，則要證，只需證.

因為，所以在上單調(diào)遞增，

所以，即在上恒成立.

綜上可得，對任意，都有成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

（1）若恒成立，求的最大值；

（2）設，若存在唯一的零點，且對滿足條件的不等式恒成立，求實數(shù)的取值集合.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，求證：對于，恒成立；

（3）若存在，使得當時，恒有成立，試求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、,橢圓的離心率為,過橢圓的左焦點,且斜率為的直線,與以右焦點為圓心,半徑為的圓相切.

（1）求橢圓的標準方程;

（2）線段是橢圓過右焦點的弦,且,求的面積的最大值以及取最大值時實數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，平面ABCD⊥平面CDEF，且四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形， ，M是線段DE上的點，滿足DM=2ME．

(1)證明：BE//平面MAC；

(2)求直線BF與平面MAC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐E﹣ABCD的側棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側棱BF都與底面ABCD垂直，，//，.

（1）證明：//平面BCE.

（2）設平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ，求.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線N的極坐標方程為（其中為常數(shù)）.

（1）若曲線N與曲線M只有一個公共點，求的取值范圍；

（2）當時，求曲線M上的點與曲線N上的點之間的最小距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，其中．

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時，試證明：函數(shù)有且僅有兩個零點，且．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知三棱錐中，為等腰直角三角形，，設點為中點，點為中點，點為上一點，且．

（1）證明：平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．

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