Question

設函數f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12
（1）求a，b的值．
（2）當x∈[1，2]時，求f（x）的最大值．
（3）p為何值時，函數g（x）=a^x-b^x+p與x軸有兩個交點．

Answer 1

（1）由題意，列方程組

log2(a-b)=1 log2(a2-b2)=log212

求得a=4，b=2..（4分）
（2）由（1）知f（x）=log₂（4^x-2^x）=log2[(2x-

1

2

)2-

1

4

]
∵1≤x≤2∴2≤2^x≤4（2分）
故t=(2x-

1

2

)2-

1

4

在[1，2]上單調遞減
∴f（x）的最大值=f（2）=log₂12（2分）
（3）令g（x）=4^x-2^x+p=0，則4^x-2^x+p=0有兩個不同解．
令t=2^x則t＞0故t²-t+p=0有兩個不同正根（2分）
即△=1-4p＞0且p＞0，（2分）
解得0＜p＜1/4．（2分）