Question

【題目】如圖,☉O內(nèi)切于△ABC的邊于點(diǎn)D,E,F,AB=AC,連接AD交☉O于點(diǎn)H,直線HF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.
（1）求證:圓心O在AD上;
（2）求證:CD=CG;
（3）若AH∶AF=3∶4,CG=10,求HF的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意知AE=AF,CF=CD,BD=BE,而AB=AC,

∴CD=CF=BE=BD.

∴D為BC的中點(diǎn),

∴AD是∠BAC的平分線,

∴圓心O在AD上.

（2）證明：如圖,連接DF.

∵O在AD上,

∴DH為直徑,

∴∠DFH=90°.

∵CF=CD,∠CFD=∠FDC,

∴∠G=90°-∠FDC=90°-∠CFD=∠CFG,

∴CG=CF,∴CG=CD.

（3）解:∵∠AFH=90°-∠CFD=90°-∠FDC=∠FDA,又∠FAD為公共角,則△AHF∽△AFD.

∴

∴在Rt△HFD中,FH∶FD∶DH=3∶4∶5.

∵△HDF∽△DGF,

∴DF∶GF∶DG=3∶4∶5.

又∵CG=10,∴GD=20.

∴DF=3×20× =12,

∴FH= FD=9.

【解析】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)及判定定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的切線的性質(zhì)及判定定理結(jié)合所給圖形根據(jù)三角形相似性以及邊角關(guān)系計(jì)算即可