Question

12．在平行四邊形ABCD中，A點的坐標為（1，0），B點的坐標為（3，2），C點的坐標為（4，-1）．
（1）求點D的坐標；
（2）求$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BD}$夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據平行四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$；列出方程組求出點D的坐標；
（2）根據平面向量數量積的定義求出向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BD}$夾角的余弦值．

解答 解：（1）平行四邊形ABCD中，A（1，0），B（3，2），C（4，-1）；
設D的坐標為（x，y），
則$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$；
即（x-1，y）=（1，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=1}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴D（2，-3）；
（2）∵$\overrightarrow{AB}$=（2，2），$\overrightarrow{BD}$=（-1，-5），
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BD}$=2×（-1）+2×（-5）=-12，
|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
|$\overrightarrow{BD}$|=$\sqrt{{（-1）}^{2}{+（-5）}^{2}}$=$\sqrt{26}$，
設$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BD}$的夾角為θ，
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AB}|×|\overrightarrow{BD}|}$=$\frac{-12}{2\sqrt{2}×\sqrt{26}}$=-$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查了平面向量數量積的定義與夾角的計算問題，是基礎題．